隨機變數定義的深度剖析
在學習的時候常常會混淆，認為隨機變數是一個觀察的結果，但其實隨機變數是一個測量函數，包括事件發生的空間（母體）以及對事件測量的結果。試著把隨機變數的敘述寫下來並拆解它，如下表： 隨機變數是一個測量函數 事件取樣空間（母體） 觀測結果空間 飛機每月飛行的時數 每個月某些飛機的飛行 飛行的時間 身高 某些人 當下的身高數據 台北十月份下雨的天數 在台北十月份的日子 每天下雨的有無 高速公路一天的死亡人數 在高速公裡觀測的日子 死亡的人數 擲兩枚骰子的點數和 丟擲兩枚骰子 兩枚骰子 出現的點數相加之和 就可以看的比較清楚它們之間的關係。 如維基百科的資料所說： 隨機變數是一個實質函數 \(X:S\to R\)，通過一個測量把事件取樣空間對應到觀測結果的空間 a random variable is understood as a measurable function defined on a probability space whose outcomes are typically real numbers. 一個隨機變數通常被理解為定義在一個機率空間上的可測量函數，其結果通常是實數。 As a function, a random variable is required to be measurable, which allows for probabilities to be assigned to sets of its potential values. 作為一個函數，隨機變數需要可以被測量，這允許機率指派一組潛在的值給它。 我們常常都忽略母體而談觀測的結果，也就是抽樣出的樣本空間。雖然結果是最顯而易見的部分，但是中間經過的抽樣，也就是一種測量，或稱為一種隨機測驗的過程，是一個實驗，也是一個觀測函數，把母體經過一些動作而產生觀察結果。 的確在很多的例子以及練習題中，我們通常不去詳細描述母體，而只談觀測出來的結果跟機率，但是根究其數學符號上的意義若能釐清其意涵，在公式推導過程會能很輕鬆的理解。 例如 \(E[c] = c\) ，為什麼常數的期望值會是該常數？ 若我們拆開來看 \(E[c] = E[X=c]\,\forall x_i \in N\) 則表