隨機變數定義的深度剖析

在學習的時候常常會混淆，認為隨機變數是一個觀察的結果，但其實隨機變數是一個測量函數，包括事件發生的空間（母體）以及對事件測量的結果。試著把隨機變數的敘述寫下來並拆解它，如下表：

隨機變數是一個測量函數	事件取樣空間（母體）	觀測結果空間
飛機每月飛行的時數	每個月某些飛機的飛行	飛行的時間
身高	某些人	當下的身高數據
台北十月份下雨的天數	在台北十月份的日子	每天下雨的有無
高速公路一天的死亡人數	在高速公裡觀測的日子	死亡的人數
擲兩枚骰子的點數和	丟擲兩枚骰子	兩枚骰子出現的點數相加之和

就可以看的比較清楚它們之間的關係。

如維基百科的資料所說：

隨機變數是一個實質函數 \(X:S\to R\)，通過一個測量把事件取樣空間對應到觀測結果的空間

a random variable is understood as a measurable function defined on a probability space whose outcomes are typically real numbers.

一個隨機變數通常被理解為定義在一個機率空間上的可測量函數，其結果通常是實數。

As a function, a random variable is required to be measurable, which allows for probabilities to be assigned to sets of its potential values.

作為一個函數，隨機變數需要可以被測量，這允許機率指派一組潛在的值給它。

我們常常都忽略母體而談觀測的結果，也就是抽樣出的樣本空間。雖然結果是最顯而易見的部分，但是中間經過的抽樣，也就是一種測量，或稱為一種隨機測驗的過程，是一個實驗，也是一個觀測函數，把母體經過一些動作而產生觀察結果。

的確在很多的例子以及練習題中，我們通常不去詳細描述母體，而只談觀測出來的結果跟機率，但是根究其數學符號上的意義若能釐清其意涵，在公式推導過程會能很輕鬆的理解。

例如 \(E[c] = c\) ，為什麼常數的期望值會是該常數？

若我們拆開來看 \(E[c] = E[X=c]\,\forall x_i \in N\)

則表示所有觀測出來的結果都是 c ，不管母體為何

因此寫為 \( X:S\to R  = \{c\} \) 縮寫為 \(X= \{c\}\) 只有一個結果

那麼 \(P(X=c) = 1\) 所有觀測中出現 c 的機率自然是 1

又 \(E[X]\) 定義為 $$\sum_{i\in N} x_i P(X=x_i)$$

這裡\(x_i\)的自然是定義為觀測出來的每個結果, 而 \( P(X=x_i)\) 代表那個結果發生的機率

因為有以上的理解，我們可以得到 \(E[X] = x_1 \cdot P(X=x_1)\) 因為 \(X={c}\) 集合中只有一個元素，而發生的機率為1 （一定發生）

接著 \(x_1\cdot P(X=x_1) = c\cdot 1 = c\)

故得證.