107 高考統計第一題詳解

題目：
1. 假設  $F=\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而  $y_1 = 1, y_2 = 3, y_3 = 3, y_4 = 9$ 四個元素的研究變數（study variable）值分別為 。我們採 用不置回的簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement）從母體F 之中抽出 樣本大小（sample size）為 $n = 2$ 的樣本組合，並以$Y_1, Y_2$ 來表示此樣本組合中的兩個樣本數據（註：採用大寫英文字母Y，表示樣本數據皆為隨機變數）。試求$Y_1$ 與$Y_2$的聯合機率分佈（joint probability distribution）以及$Y_1$與$Y_2$的共變異數（covariance）。（15分）
2. 假設前一小題之中抽出樣本大小為 $n = 3$的樣本組合，並以$Y_1,Y_2, Y_3$來表示此樣本組合中的 三個樣本數據。試求Y1與Y3的共變異數。（5 分）

解答：
(公式推導法)
1. 因為選取機制是取出不放回，故第一個隨機變數有 N 個可能性，第二個隨機變數有 N - 1 個可能性。
聯合機率分配為 $P(Y_1,Y_2) = 1 / {N(N-1)}$
四個元素取出兩個元素 每種組合可能性發生的機率為 1/12
共變異數 $Cov(Y_i, Y_j)$
$$= E[(Y_i - \mu_y)(Y_j - \mu_y)]$$
$$=\sum_{i,j \in (1,4), i \neq j} (y_i - \mu_y)(y_j - \mu_y)P(y_i, y_j) \, //離散型$$
$$=\sum_{i,j \in (1,4), i \neq j} \frac{(y_i - \mu_y)(y_j - \mu_y)}{N(N-1)}$$
$$=\frac{\sum_{i \in (1,4)} (y_i - \mu_y)\sum_{j \in (1,4)} (y_j - \mu_y)-\sum_{i=j}(y_i - \mu_y)(y_j - \mu_y)}{N(N-1)}$$
$$=\frac{(\sum_{i \in (1,4)} (y_i - \mu_y))^2-\sum_{i \in (1,4)}(y_i - \mu_y)^2}{N(N-1)} \,//變數縮減$$
$$=\frac{(4\mu-4\mu)^2-\sum_{i \in (1,4)}(y_i - \mu_y)^2}{N(N-1)} \,$$

$$=-\frac{1}{N-1}\frac{\sum_{i \in (1,4)}(y_i - \mu_y)^2}{N}$$
$$=-\frac{1}{N-1}Var(Y)$$
$$=-\frac{9}{3}$$
$$=-3$$
2. $Cov(Y_1,Y_3)=Cov(Y_1,Y_2)=-3$